Il teorema di Pitagora è deducibile da un principio variazionale?
a cura del prof. Maurizio Perboni docente di fisica nell’istituto "G. Galilei" Mirandola Modena
elaborazione numerica a cura del prof. Dante Borelli, docente di matematica nel citato istituto.
Rette in spazi normati
La misura di una lunghezza è intimamente legata alla nozione di retta; difatti misurare la distanza tra due punti significa vedere quante volte il metro campione sta sulla retta che unisce i due punti.
Ora vedremo che ciò che noi chiameremo retta non è un oggetto universale ma un ente geometrico la cui forma dipende dalla norma di cui dotiamo lo spazio.
Consideriamo una curva C su uno spazio normato V e parametrizziamolo
gli estremi della curva siano
Definiamo ora la lunghezza della curva dividendo la curva in N tratti
e calcolando la somma della distanza tra i vari tratti
(3)
poiché
deve esistere
tale che
perciò
Espandendo (3) in serie di Taylor si ha
ora passando al limite per 
si ottiene
(4)
che è la lunghezza della curva
Diamo ora la definizione di rette considerando una famiglia di curve dipendenti da un parametro a che passano tutte per b1 e b2
La più corta di esse seconda la norma scelta la chiameremo retta.
Quindi dovrà essere
(5).