Il teorema di Pitagora è deducibile da un principio variazionale?
a cura del prof. Maurizio Perboni docente di fisica nell’istituto "G. Galilei" Mirandola Modena
elaborazione numerica a cura del prof. Dante Borelli, docente di matematica nel citato istituto.
Introduzione
In tutti i manuali di fisica l' euclidicità dello spazio R3 viene supposta più o meno esplicitamente; anche in relatività generale si suppone che almeno localmente volge il teorema di Pitagora
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Se il teorema di Pitagora non valesse come sarebbe la fisica? Per tentare di rispondere a ciò ordiniamo gli spazi matematici in una gerarchia dal più semplice al più complesso
-Spazio Topologico
-Spazio Metrico
-Spazio Normato
-Spazio Euclideo
Lo spazio topologico non è dotato di alcun criterio per misurare la distanza tra due punti, quindi ci troveremmo di fronte a dover formulare una fisica puramente qualitativa.
Passando al gradino successivo troviamo lo spazio metrico costituito da un insieme A dotato di una metrica r (Criterio per la misura della distanza)
Tuttavia, essendo A un insieme
non necessariamente dotato di operazione tra i suoi
elementi, non avrebbe alcun senso parlare di legge di
composizione vettoriale e di operazioni come la
derivazione vettoriale. Per esempio grandezze come la
velocità
non potrebbero essere definite
(2)
Compiamo un ulteriore passo considerando spazi normati, che sono veri e propri spazi vettoriali dove è possibile compiere operazioni di questo tipo.
Ora ha senso parlare di composizione dei moti e di direzione.
Il limite più grande degli spazi normati è quello di non potere calcolare la misura di sottinsieme di R3, ovvero aree e volumi.
In questi spazi manca la nozione di angolo e quindi di parallelismo e perpendicolarità
perciò questi due quadrangolari potrebbero avere la stessa area A=a*b
Solo con lo spazio euclideo, tramite il prodotto scalare riusciamo ad introdurre un sistema goniometrico, ovvero un criterio per misurare gli angoli ed attraverso il concetto di perpendicolarità a misurare aree e volumi.