TEORIA DELLE DISTRIBUZIONI
A cura del prof. Maurizio Perboni docente di fisica nell’istituto "G. Galilei" Mirandola Modena
Distribuzioni ed equazioni differenziali
Supponiamo di avere una equazione differenziale
(1)
con r (x) funzione continua
Dalla teoria delle equazioni differenziali la soluzione è data dalla somma della soluzione omogenea più quella particolare
L’equazione omogenea è facilmente risolvibile, quella particolare ha un maggior grado di difficoltà che dipende dalla forma di r (x).
Osserviamo ora questa equazione differenziale
ed applichiamola ad una funzione G(x)Î D
da (1)
perciò
(2)
La soluzione della equazione differenziale è nota se è nota la soluzione del problema dove il termine di forzatura è impulsivo.
è
detta funzione di Green
L’integrale (2) ricorda il principio di Huygens
è l’effetto
che l’impulso generato in y fa nel punto x; 
è il peso di
questo effetto.
Risolviamo ora l’equazione differenziale
Scriviamo G(x-x') come antitrasformata di Fourier della funzione G(w )
essendo questa espressione uguale a 
si ha
ovvero
quindi
Trasformata di Fourier della funzione di Green.
Si ha perciò
La funzione integranda ha due poli in 
Integriamo
su un cammino complesso
M+ sia la curva chiusa, mentre R+ sia la semicirconferenza di raggio R
Applicando il teorema dei residui si ha
Perciò
Il membro dell’integrale su R+ vale
L’integrale converge se 
.
Ma poiché 
si deve avere
L’integrale su R+ tende a zero perciò
Facendo la stessa operazione su di un cammino M- simmetrico a M+ si ottiene
Perciò
Ovvero
.