TEORIA DELLE DISTRIBUZIONI
A cura del prof. Maurizio Perboni docente di fisica nell’istituto "G. Galilei" Mirandola Modena
Algebra delle distribuzioni
Uguaglianza
Due distribuzioni T ed S sono uguali e scriviamo T=S se
<T, j >=<S,j > per ogni j Î D
Distribuzione nulla
Diciamo che T=0 in un aperto W Ì Rn se per ogni j Î D
<T, j >=0 e supp j Ì W
Derivazione
Consideriamo il funzionale lineare
con f funzione nel senso classico
Integrando per parti si ha
Poiché j Î D, essa si annulla all'infinito, perciò si ha
ovvero
Estendendo questa regola anche alle disrtibuzioni rappresentate da "funzioni" del tipo non classico daremo la nozione di derivata di una distribuzione
Il funzionale ora definito è lineare, dimostrando che è continuo, potremo dire che
é anche essa una distribuzione.
T è continuo perciò
poichè
si ha che
perciò
ovvero
.
Ciò dimostra la continuità del lineare, perciò la derivata di una distribuzione è ancora una distribuzione.
Col concetto di distribuzione ora riusciamo a derivare delle funzioni non derivabili coi metodi dell’analisi.
Esempio:
Consideriamo la funzione a gradino di Heaviside
La derivata H'(x) in x=0 non esiste ed è nulla altrove.
Vediamo di derivare H(x) nel senso delle distribuzioni
Perciò
Poichè
si ha
Riconoscendo che
Prodotto di distribuzioni
Se S,T sono due distribuzioni
definiamo il prodotto 
come
(8)
Naturalmente bisogna che f(x) g(x) sia localmente sommabile affinchè (8) esista; ma non e detto che il prodotto di due funzione f(x) e g(x) localmente sommabili lo sia anch’ esso, quindi non sempre è possibile definire il prodotto tra due distribuzioni.
Per distribuzioni del tipo funzione vale
quindi vale la proprietà
(9)
che estendiamo anche alle distribuzioni non del tipo funzione
Esempio
perciò si ha
(10)
Derivata del prodotto di due distribuzioni
S e T sono due distribuzioni ed esiste il loro
prodotto ,
vediamo il significato di
ma per (9) posso scrivere
Se S è una distribuzione del tipo funzione si ha
perciò
ovvero
per cui la legge di composizione delle derivate è
(11).