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TEORIA DELLE DISTRIBUZIONI

A cura del prof. Maurizio Perboni docente di fisica nell’istituto "G. Galilei" Mirandola Modena

Cariche distribuite e cariche puntiformi

 Una distribuzione continua di carica viene determinata da una funzione DENSITÀ () che rappresenta localmente la carica per unità di volume.

La carica contenuta in un volume finito V si calcola con l’integrale

(1)

Se consideriamo cariche puntiformi come riusciamo a dare una rappresentazione integrale del tipo (1) ?

Ovvero come riusciamo ad estendere la funzione densità ad un simile caso?

Poiché () rappresenta il "peso" che ogni punto dello spazio ha per contribuire alla carica totale, attribuiremo, come Dirac fece negli anni ‘20, un peso + al punto dove è posta la carica ad un peso zero altrove.

Perciò la densità di una carica puntiforme ed unitaria posta nell’origine sarà

Inoltre, poiché la carica è unitaria, dovrà essere

Questa "funzione" viene definita FUNZIONE DELTA DI DIRAC che nella sua definizione primitiva risulta essere data da

(2)

E’ chiaro come questo oggetto non possa essere una funzione intesa nel senso classico e come (2) contrasti con la teoria della misura. Infatti essendo una funzione nulla ovunque tranne in zero, nel senso classico

Quindi è necessario reinterpretare secondo una nuova ottica questa funzione speciale seguendo il lavoro di Schwartz.

Anziché considerare una carica puntiforme, consideriamo una carica unitaria distribuita uniformemente su , sfera di raggio e centrata nell’origine. La funzione densità sarà perciò data da

Risulta evidente che per e ® 0

Ora noi non consideriamo l’integrale

che per la teoria della misura è nullo, bensì il cosidetto LIMITE DEBOLE, ovvero

Si può agevolmente dimostrare anche che, data una funzione regolare in x=0, si ha

Essendo diversa da zero solo nella sfera , l’integrale diventa

estraendo la costante dall’integrale si ha

applicando il teorema della media otteniamo

dove è un punto che appartiene ad ; semplificando avremo

in quanto col processo al limite conterrà solo il punto d’origine.

Pensando la di Dirac come il limite debole di funzioni che l’approssimano, abbiamo dimostrato che

(3)

In quest’ ottica è un oggetto che opera su funzioni poste sotto il segno di integrale, quindi è un OPERATORE LINEARE.