[ Home ]

[ I colori della matematica ] [ Il calcolo delle aree ed il teorema di Torricelli ] [ Curiosita sulle funzioni arcotangente e logaritmo ] [ Distribuzioni ] [ Teorema di Pitagora ]

Il calcolo delle aree ed il teorema di Torricelli
 

Il contenuto è liberamente utilizzabile purché ne venga citata la fonte.

(a cura del Prof. Dante Borelli, docente di matematica all'Istituto "G.Galilei" di Mirandola, Modena)

Premessa

Con questo articolo intendo riformulare un noto teorema dell’analisi infinitesimale, per cercare di far superare agli studenti la difficoltà nel comprendere la distinzione tra integrale indefinito e integrale definito.

Sono della convinzione che queste difficoltà siano principalmente legate al tipo di notazione utilizzata e che non ci sia assolutamente bisogno di definire una area piana attraverso il termine “integrale definito”, e che ci si possa limitare a continuare a chiamarla “area”.

In altri termini non vedo assolutamente la necessità di utilizzare la tesi del teorema di Torricelli (o Torricelli-Barrow per alcuni autori) già fin nelle premesse del calcolo delle aree. Per quale motivo si deve utilizzare il bellissimo risultato del teorema già fin nelle sue ipotesi?

Secondo me la dicitura “integrale indefinito” deve essere rimandato il più possibile e comparire solo alla fine della dimostrazione del teorema che spiega come calcolare operativamente le aree sottese dalle funzioni in un intervallo.

Di seguito viene presentata una possibile alternativa alla presentazione e dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo integrale, risaltandone, se possibile, l’importanza e la bellezza.

Problema: come calcolare l’area sottesa da una funzione continua e positiva in un intervallo [a,b]?

Un approccio possibile al problema consiste nel dividere l’intervallo [a,b] in n parti uguali e di considerare i rettangoli iscritti e circoscritti alla funzione (vedi figura 2).

Ogni rettangolo ha una base di ampiezza h=(b-a)/n.

Consideriamo ore le seguenti somme:

dove m_i indica il minimo ed M_i indica il massimo della funzione nell’iesimo intervallino.

s_n è allora il valore totale dell’area dei rettangoli inscritti, mentre S_n quella dei rettangoli circoscritti.

Intuitivamente si può capire come maggiore sia il numero delle parti in cui viene diviso l’intervallo [a,b], minore è l’errore che si commette nel considerare s_n (o S_n) come l’area sottesa dalla funzione.

Facilmente si può dimostrare che l’area A sottesa dalla funzione nell’intervallo [a,b] vale:

(1)

Dimostriamo ora il

“Teorema della Media”

Ipotesi: sia f(x) una funzione continua su [a,b] e positiva

Tesi: l’area (A) sottesa dalla funzione su [a,b] è uguale alla base (b-a) per una opportuna altezza f(c), cioè

A=(b-a)f(c)

dove c è un punto compreso in [a,b]

Dimostrazione: indichiamo ora con

m il minimo della funzione f(x) in [a,b],

M il massimo

n il numero di parti uguali in cui dividiamo [a,b]

h=(b-a)/n, la misura di ogni singolo intervallino

m_i il minimo della funzione f(x) su ogni intervallino, con i = 1,2,…,n

si ha evidentemente

sommiamo ora i termini delle disequazioni precedenti

moltiplichiamo ora il tutto per h

sostituiamo ora h=(b-a)/n e semplifichiamo il primo e l'ultimo termine della disequazione, mentre sostitiamo al centrale s_n (vedi definizioni precedenti)

(b-a)m< s_n  <(b-a)M               (2)

applichiamo ora ai termini dalla (2) il limite per n tendente a più infinito, cioè

Il primo ed il terzo limite sono indipendenti da n, mentre il limite centrale per la (1) vale A

perciò

(b-a)m<A<(b-a)M.

Esiste quindi sicuramente un numero l, compreso tra m ed M tale per cui

A=(b-a)l. D’altra parte, essendo la funzione f(x) continua su [a,b],

esiste un numero c, in tale intervallo, tale che f(c)=l e quindi

A=(b-a)f(c) che è quanto volevamo dimostrare.

Dimostriamo ora il

“Teorema di Torricelli”

Premessa: Sia f(t) una funzione ausiliaria, ottenuta da f(x) con un semplice cambio di variabile e

indichiamo con F(x) l’area sottesa dalla funzione f(t) (vedi figura 3), con a prefissato ed x variabile in [a,b]

Ipotesi: sia f(x) una funzione continua su [a,b] e positiva

Tesi: F’(x)=f(x)

Dimostrazione: indichiamo ora con F(x+h) l’area sottesa dalla funzione f(t) da a ad x+h (vedi figura 4), con a prefissato

Riassumendo:

F(x)=A₁           F(x+h)=A₁+A₂

L’area A₂, per il teorema della media, vale A₂=(x+h-x)f(c), con x<c<x+h

perciò

F(x+h)-F(x)= A₁+A₂-A₁=A₂=hf(c)                  (3)

se dividiamo ora la (3) per h, tralasciando i passaggi intermedi, ed applichiamo il limite per h tendente a zero si ottiene evidentemente

                 (4)

Ora il primo termine della (4) altro non è che la definizione di F’(x), mentre il secondo termine vale f(x), poiché, come indicato prima, x<c<x+h.

La (4) quindi è la tesi del teorema, cioè F’(x)=f(x).

Conseguenza:

Se F’(x)=f(x), allora

Calcoliamo ora F(a) ed F(b)

ma F(a)=0, poiché altro non è che l’area sottesa dalla funzione f(t) in [a,a]

esplicitando c dalla (5) e sostituendo il risultato nella (6) si ha

= A              (7)

dove F(b), altro non è che il valore dell’area sottesa dalla funzione f(t) in [a,b].

Conclusione

La relazione (7) ci dice, quindi, come sia possibile, attraverso l’integrale indefinito, calcolare operativamente il valore di una area sottesa da una funzione f(x) continua e positiva in un intervallo (a,b); a questo punto si ricorda che la notazione comunemente usata per il risultato della (7) è la seguente:

, denominata integrale definito.