Curiosità
sulle funzioni arcotangente e logaritmo
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(a cura del Prof. Dante Borelli, docente di matematica all'Istituto "G.Galilei" di Mirandola, Modena)
In questo breve articolo si vuole evidenziare un legame tra le funzioni f(x)=arctn(x) ed f(x)=ln(1+x, probabilmente non noto, ma che sicuramente merita un certo interesse ed un po' di attenzione.
Partiamo dagli sviluppi in serie di queste funzioni considerando x reale:
con |x|<1
con -1<x<=1
Da questo ultimo sviluppo possiamo calcolare anche
(1)
e
(2)
La differenza tra la (1) e la (2) produce il seguente risultato:
con |x|<1 (3)
Abbiamo così ottenuto una relazione tra le due funzioni utilizzando i numeri complessi. Tale relazione è da considerarsi valida sotto la condizione restrittiva |x|<1.
Notiamo anche l'analogia che questa relazione ha con le formule di Eulero. Infatti mentre le formule di Eulero esprimono un legame tra la funzione esponenziale e le funzioni sinusoidali, la (3) lega la funzione logaritmo con la funzione arcotangente, cioè le inverse delle precedenti.
Interessanti anche le uguaglianze tra le derivate e gli integrali della (3). Queste saranno approfondite in seguito.
La (3) può essere riscritta in molti modi come ad esempio
.(4)
Ma forse è ancora più interessante il seguente risultato ottenibile con il cambio di variabile
cioè 
dalla (4) si ottiene
sostituiamo ora la variabile
ausiliaria t con x ed otteniamo così
.
Sempre dalla (3), ponendo
ed 
si ha il notevole risultato
con xy<1 (5).
Poiché la funzione arcotangente ha il codominio limitato, il termine di sinistra si estende da - p a + p, mentre l'espressione di destra da - p/2 a p/2, con semplici considerazioni sul segno delle espressioni, si può estendere la relazione (5). Se x,y>1 allora al secondo termine della (5) è necessario aggiungere il valore p, mentre se x,y<-1 allora al secondo termine della (5) è necessario sottrarre p. Naturalmente la relazione perde di interesse se x=y=1 e x=y=-1.
La (5) mostra quindi come sia possibile sommare (o sottrarre) tra di loro le funzioni arcotangente.
La formula precedente può essere utilizzata in varie occasioni, come ad esempio per il calcolo di sfasamenti, per esplicitare argomenti nelle risoluzioni di equazioni differenziali, ecc.
Dalla (5) si ha anche il simpatico risultato
con |x|<1 (6)
Anche a questa espressione si può estendere facilmente il campo di validità, come per la (5), tralasciando il caso banale per x=1 e per x=-1.
Facciamo ora un altro approccio alla questione considerando
(7)
ma
per cui 
(8)
e, di conseguenza, dalla (7) e dalla (8) si ottiene
(9)
valida per ogni x reale. Tale relazione è identica alla (3), tranne per la presenza della costante di integrazione c, Tale costante si può interpretare nel fatto che arctn(x) è una funzione plurivoca, così come il logaritmo in campo complesso. Questo risultato quindi amplia la relazione (3), con l'utilizzo di costanti opportune, come abbiamo visto ad esempio nella (5).
Considero ora la quantità
si ha evidentemente |z|=1; arg(z)= p /2 se x=1, arg(z)= - p /2 se x=-1,
se |x|<1 ed infine 
se |x|>1.
Da queste relazioni si ottiene
con k intero (10).
Considerando |x|<1 e k=0, abbiamo ritrovato la relazione (6) per una altra via. Anche per tale relazione può essere facilmente esteso il campo di validità con l'uso di costanti opportune, ad esempio se x>1 aggiungeremo p , mentre se x<-1 toglieremo p al secondo termine della (6).