Esercizio N° 9 (avviamento, regolazione di velocità, rifasamento, Esame 2010)
Si tratta della seconda prova scritta dell’esame di Stato dell’anno 2010, qui trascritta letteralmente.
Una linea elettrica trifase, avente resistenza 3,2 ohm e reattanza di 6 ohm, alimenta a 400 V - 50 Hz un motore asincrono trifase a gabbia di scoiattolo da 20 kW a 6 poli.
Il motore presenta, a pieno carico, le seguenti caratteristiche:
rendimento 0,87, fattore di potenza 0,8, scorrimento 3%.
All’avviamento, a pieno carico, la corrente di spunto è pari a 5,8 volte la corrente nominale. Per esigenze di servizio, il motore deve essere avviato con una coppia di spunto pari a 100 Nm.
Il candidato, fatte le eventuali ipotesi aggiuntive che ritiene necessarie, calcoli la coppia fornita a pieno carico e relazioni sulle condizioni di avviamento cui è sottoposto il motore. Individui e dimensioni il dispositivo che consente di soddisfare le condizioni richieste all’avviamento, giustificando la scelta operata, e determini il rendimento totale del sistema.
Inoltre il candidato, nell’ipotesi che il motore debba fornire la stessa coppia con una riduzione di velocità del 10%, illustri io sistema di regolazione e ne effettui il dimensionamento di massima.
Infine, il candidato valuti la necessità di effettuare il rifasamento del sistema e motivi adeguatamente gli eventuali benefici che si ottengono in relazione al risparmio energetico.
Risoluzione
Per prima cosa si osserva l’inadeguatezza dei valori attribuiti ai parametri della linea elettrica. Tale linea, che ovviamente altro non sarà che un adeguato cavo elettrico, dovendo alimentare a 400 V un motore da 20 kW, avrà resistenza e reattanza che al massimo varranno pochissimi decimi di ohm. A causa di ciò, alcuni dei risultati che si otterranno saranno poco credibili per chiunque abbia un minimo di esperienza sugli impianti elettrici. Tuttavia decido di ignorare tale aspetto per mostrare il procedimento di risoluzione.
Ancora, nella traccia si afferma che la corrente assorbita all’avviamento “a pieno carico” vale 5,8 volte la corrente nominale. E’ il caso di osservare che l’intensità della corrente di avviamento non dipende dal fatto che l’avviamento sia effettuato a carico od a vuoto, ma dipende dalla tensione che viene applicata al motore all’avviamento (eventualmente, il fatto di essere a vuoto od a carico, determina il tempo di durata della fase di avviamento e quindi la sollecitazione termica che il motore subisce).
Calcolo la coppia Cn fornita a pieno carico da motore.
Essendo nota la potenza nominale ovvero la potenza meccanica Pn=20 kW erogata all’albero, la frequenza di alimentazione f=50 Hz, il numero di poli 2·p=6, lo scorrimento percentuale sn%=3, procedo come segue:
Avviamento del motore.
La traccia fornisce la corrente di avviamento con applicata la tensione nominale. Il suo valore IAV è 5,8 volte quello della corrente nominale In:
Nulla viene detto riguardo la coppia di avviamento con applicata la tensione nominale e non sono forniti i dati necessari al suo eventuale calcolo. Quindi, con riferimento alla tabella A3 relativa ai criteri di scelta delle macchine elettriche riportata nel capitolo 14, pagina 15, del Manuale Cremonese del Perito Industriale parte generale, ipotizzo una coppia di avviamento pari a:
La traccia richiede che l’avviamento avvenga con una coppia minore e pari a CAV’=100 N·m, quindi
dovrò intervenire con un opportuno metodo. Considerando che il motore ha il rotore a gabbia, non è possibile utilizzare reostati rotorici. Devo quindi ricorrere ad un avviamento a tensione ridotta. Ipotizzando che gli avvolgimenti statorici siano collegati a triangolo e considerando la potenza del motore, si potrebbe prendere in considerazione un avviamento stella-triangolo. Infatti la coppia disponibile allo spunto varrebbe un terzo di quella con tensione nominale, ovvero 294,5/3=98,17 N·m, quasi coincidente con quella richiesta. In tale avviamento verrebbe assorbita una corrente pari ad un terzo di quella assorbita nel caso di piena tensione, quindi 240,6/3=80,2 A. Tuttavia rimarrebbero gli inconvenienti propri di tale avviamento, in particolare quelli riguardanti il momento della commutazione con una temporanea assenza di coppia motrice, particolarmente gravi nel caso di un avviamento a carico.
Decido quindi l’uso di un autotrasformatore. Tale autotrasformatore, interposto tra la linea ed il motore, alimentato alla tensione Vn=400 V deve fornire al motore la tensione di avviamento ridotta V’ che permette lo sviluppo della coppia CAV’= 100 N·m.
Sapendo che la coppia varia col quadrato della tensione, posso calcolare:
Considerando che la corrente assorbita dal motore all’avviamento varia proporzionalmente alla tensione applicata, la nuova corrente di avviamento IAV’ varrà:
La corrente che l’autotrasformatore, che supponiamo ideale, assorbirà dalla linea varrà:
La potenza nominale dell’autotrasformatore dovrà essere quella commerciale immediatamente maggiore di:
Dove 0,3 è un coefficiente riduttivo adottato in quanto l’autotrasformatore è chiamato ad un servizio di durata limitata.
Calcolo il rendimento totale del sistema.
Il rendimento richiesto è sicuramente quello relativo alla linea ed al motore funzionante in condizioni nominali. L’autotrasformatore non è da considerarsi in quanto rimane inserito soltanto durante l’avviamento (è il caso di osservare che tale condizione di funzionamento è di tipo transitorio e quindi non ha senso parlare di rendimento così come è solitamente inteso).
Conoscendo il rendimento del motore ed osservando che la corrente in linea è quella nominale assorbita dal motore, si avrà:
Il risultato è condizionato dal valore assolutamente inadeguato della resistenza della linea, in realtà una linea ha rendimenti ben oltre il 90%.
Regolazione di velocità.
Viene richiesta una regolazione a coppia costante (pari alla nominale) con riduzione della velocità del 10%. Tale regolazione posso effettuarla mediante semplice riduzione della tensione applicata oppure mediante contemporanea riduzione della frequenza e della tensione.
Considero la regolazione mediante la variazione della sola tensione. Si tratta di una regolazione che è possibile effettuare ancora con un autotrasformatore. Presenta il grave inconveniente che la riduzione di tensione è accompagnata da una grande diminuzione della coppia massima visto che la coppia varia col quadrato della tensione. Ciò significa una grave riduzione del margine di sovraccarico accettabile dal motore o, addirittura, l’impossibilità da parte del motore di erogare la coppia richiesta dal carico. Sarà quindi opportuna una verifica su questo aspetto della regolazione.
Innanzitutto calcolo la velocità ridotta ed il relativo scorrimento:
Assumendo rettilineo il primo tratto della caratteristica meccanica, a parità di coppia lo scorrimento è inversamente proporzionale al quadrato della tensione applicata. Risulta quindi possibile calcolare la tensione da applicare:
Osservo che la tensione applicata al motore è circa la metà di quella nominale. Devo quindi aspettarmi una coppia massima pari ad un quarto di quella che avrei con tensione nominale. Dalla tabella del manuale Cremonese sopra citata ho l’indicazione che il motore in esame, con applicata la tensione nominale, ha una coppia massima pari a 2,5 volte quella nominale. Quindi concludo che la regolazione mediante la sola riduzione di tensione non è possibile, non essendo in grado il motore di erogare la coppia nominale quando è alimentato alla tensione ridotta di 194,4 V.
Considero la regolazione mediante la variazione contemporanea di frequenza e tensione in modo tale che il loro rapporto rimanga costante (ovvero regolo usando un inverter). Tale regolazione, per il campo di frequenze che va da 0 Hz alla frequenza nominale di 50 Hz, ha il vantaggio di mantenere costante il flusso per polo e quindi la coppia massima esprimibile dal motore.
In una regolazione di velocità a coppia costante ottenuta mediante variazione di tensione e frequenza in modo tale che il loro rapporto rimanga costante, la caratteristica meccanica si modifica traslando rigidamente verso sinistra al diminuire della frequenza, come mostrato in figura:
Quindi si può affermare che la differenza tra la velocità del campo rotante e la velocità del rotore è, a parità di coppia, costante al variare della frequenza. Questa differenza Dn è calcolabile con riferimento alla frequenza di 50 [Hz]:
Dn = n1 – n2 = 1000 – 970 = 30 [Hz]
Siccome la regolazione richiede una velocità ridotta pari a n2’ = 630 [rpm], la velocità n1’ che dovrà avere il campo rotante alla nuova frequenza varrà:
n1’ = n2’ + Dn = 873 + 30 = 903 [rpm]
Essendo p=3 le coppie di poli, la frequenza f1’ alla quale andrà alimentato il motore varrà:
La tensione V’ alla quale alimentare il motore dovrà variare in misura proporzionale alla variazione di frequenza (solo così si mantiene costante il flusso per polo):
Rifasamento del sistema.
Come richiesto dalla traccia, faccio riferimento al sistema linea e motore avente il motore funzionante in condizioni nominali. Per prima cosa valuto il fattore di potenza alla partenza della linea:
Essendo tale fattore di potenza estremamente basso decido di rifasare alla partenza della linea a 0,9 in ritardo. La tensione che risulta applicata ai condensatori è la tensione alla partenza della linea:
Essendo in bassa tensione collego i condensatori di rifasamento a triangolo:
Ancora una volta osservo che i valori della tensione e del fattore di potenza alla partenza della linea sono condizionati dai valori inattendibili assegnati ai parametri della linea.
In particolare, la tensione di distribuzione dell’energia elettrica è pari a 400 V, non 867,6 V.
Il rifasamento ha l’effetto di ridurre la corrente assorbita dal sistema linea e motore. Quindi si avrà un aumento del rendimento nella rete di competenza del fornitore di energia elettrica.
Assumendo che la tensione alla quale è alimentato il sistema rimanga invariata e pari a 867,6 V e considerando che l’inserzione dei condensatori di rifasamento non varia la potenza attiva assorbita dal sistema, l’intensità della corrente che il fornitore di energia elettrica deve fornire al sistema passa da In=41,48 A a:
In’=Pp/(1,732·Vp·cosjP’)=39510/(1,732·867,6·0,9)=29,21 [A]
con evidenti benefici.
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